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% correct bad hyphenation here 11 10 % correct bad hyphenation here
\hyphenation{op-tical net-works semi-conduc-tor} 12 11 \hyphenation{op-tical net-works semi-conduc-tor}
\textheight=26cm 13 12 \textheight=26cm
\setlength{\footskip}{30pt} 14 13 \setlength{\footskip}{30pt}
\pagenumbering{gobble} 15 14 \pagenumbering{gobble}
\begin{document} 16 15 \begin{document}
\title{Filter optimization for real time digital processing of radiofrequency signals: application 17 16 \title{Filter optimization for real time digital processing of radiofrequency signals: application
to oscillator metrology} 18 17 to oscillator metrology}
19 18
\author{\IEEEauthorblockN{A. Hugeat\IEEEauthorrefmark{1}\IEEEauthorrefmark{2}, J. Bernard\IEEEauthorrefmark{2}, 20 19 \author{\IEEEauthorblockN{A. Hugeat\IEEEauthorrefmark{1}\IEEEauthorrefmark{2}, J. Bernard\IEEEauthorrefmark{2},
G. Goavec-M\'erou\IEEEauthorrefmark{1}, 21 20 G. Goavec-M\'erou\IEEEauthorrefmark{1},
P.-Y. Bourgeois\IEEEauthorrefmark{1}, J.-M. Friedt\IEEEauthorrefmark{1}} 22 21 P.-Y. Bourgeois\IEEEauthorrefmark{1}, J.-M. Friedt\IEEEauthorrefmark{1}}
\IEEEauthorblockA{\IEEEauthorrefmark{1}FEMTO-ST, Time \& Frequency department, Besan\c con, France } 23 22 \IEEEauthorblockA{\IEEEauthorrefmark{1}FEMTO-ST, Time \& Frequency department, Besan\c con, France }
\IEEEauthorblockA{\IEEEauthorrefmark{2}FEMTO-ST, Computer Science department DISC, Besan\c con, France \\ 24 23 \IEEEauthorblockA{\IEEEauthorrefmark{2}FEMTO-ST, Computer Science department DISC, Besan\c con, France \\
Email: \{pyb2,jmfriedt\}@femto-st.fr} 25 24 Email: \{pyb2,jmfriedt\}@femto-st.fr}
} 26 25 }
\maketitle 27 26 \maketitle
\thispagestyle{plain} 28 27 \thispagestyle{plain}
\pagestyle{plain} 29 28 \pagestyle{plain}
\newtheorem{definition}{Definition} 30 29 \newtheorem{definition}{Definition}
31 30
\begin{abstract} 32 31 \begin{abstract}
Software Defined Radio (SDR) provides stability, flexibility and reconfigurability to 33 32 Software Defined Radio (SDR) provides stability, flexibility and reconfigurability to
radiofrequency signal processing. Applied to oscillator characterization in the context 34 33 radiofrequency signal processing. Applied to oscillator characterization in the context
of ultrastable clocks, stringent filtering requirements are defined by spurious signal or 35 34 of ultrastable clocks, stringent filtering requirements are defined by spurious signal or
noise rejection needs. Since real time radiofrequency processing must be performed in a 36 35 noise rejection needs. Since real time radiofrequency processing must be performed in a
Field Programmable Array to meet timing constraints, we investigate optimization strategies 37 36 Field Programmable Array to meet timing constraints, we investigate optimization strategies
to design filters meeting rejection characteristics while limiting the hardware resources 38 37 to design filters meeting rejection characteristics while limiting the hardware resources
required and keeping timing constraints within the targeted measurement bandwidths. 39 38 required and keeping timing constraints within the targeted measurement bandwidths.
\end{abstract} 40 39 \end{abstract}
41 40
\begin{IEEEkeywords} 42 41 \begin{IEEEkeywords}
Software Defined Radio, Mixed-Integer Linear Programming, Finite Impulse Response filter 43 42 Software Defined Radio, Mixed-Integer Linear Programming, Finite Impulse Response filter
\end{IEEEkeywords} 44 43 \end{IEEEkeywords}
45 44
\section{Digital signal processing of ultrastable clock signals} 46 45 \section{Digital signal processing of ultrastable clock signals}
47 46
Analog oscillator phase noise characteristics are classically performed by downconverting 48 47 Analog oscillator phase noise characteristics are classically performed by downconverting
the radiofrequency signal using a saturated mixer to bring the radiofrequency signal to baseband, 49 48 the radiofrequency signal using a saturated mixer to bring the radiofrequency signal to baseband,
followed by a Fourier analysis of the beat signal to analyze phase fluctuations close to carrier. In 50 49 followed by a Fourier analysis of the beat signal to analyze phase fluctuations close to carrier. In
a fully digital approach, the radiofrequency signal is digitized and numerically downconverted by 51 50 a fully digital approach, the radiofrequency signal is digitized and numerically downconverted by
multiplying the samples with a local numerically controlled oscillator (Fig. \ref{schema}) \cite{rsi}. 52 51 multiplying the samples with a local numerically controlled oscillator (Fig. \ref{schema}) \cite{rsi}.
53 52
\begin{figure}[h!tb] 54 53 \begin{figure}[h!tb]
\begin{center} 55 54 \begin{center}
\includegraphics[width=.8\linewidth]{images/schema} 56 55 \includegraphics[width=.8\linewidth]{images/schema}
\end{center} 57 56 \end{center}
\caption{Fully digital oscillator phase noise characterization: the Device Under Test 58 57 \caption{Fully digital oscillator phase noise characterization: the Device Under Test
(DUT) signal is sampled by the radiofrequency grade Analog to Digital Converter (ADC) and 59 58 (DUT) signal is sampled by the radiofrequency grade Analog to Digital Converter (ADC) and
downconverted by mixing with a Numerically Controlled Oscillator (NCO). Unwanted signals 60 59 downconverted by mixing with a Numerically Controlled Oscillator (NCO). Unwanted signals
and noise aliases are rejected by a Low Pass Filter (LPF) implemented as a cascade of Finite 61 60 and noise aliases are rejected by a Low Pass Filter (LPF) implemented as a cascade of Finite
Impulse Response (FIR) filters. The signal is then decimated before a Fourier analysis displays 62 61 Impulse Response (FIR) filters. The signal is then decimated before a Fourier analysis displays
the spectral characteristics of the phase fluctuations.} 63 62 the spectral characteristics of the phase fluctuations.}
\label{schema} 64 63 \label{schema}
\end{figure} 65 64 \end{figure}
66 65
As with the analog mixer, 67 66 As with the analog mixer,
the non-linear behavior of the downconverter introduces noise or spurious signal aliasing as 68 67 the non-linear behavior of the downconverter introduces noise or spurious signal aliasing as
well as the generation of the frequency sum signal in addition to the frequency difference. 69 68 well as the generation of the frequency sum signal in addition to the frequency difference.
These unwanted spectral characteristics must be rejected before decimating the data stream 70 69 These unwanted spectral characteristics must be rejected before decimating the data stream
for the phase noise spectral characterization. The characteristics introduced between the 71 70 for the phase noise spectral characterization. The characteristics introduced between the
downconverter 72 71 downconverter
and the decimation processing blocks are core characteristics of an oscillator characterization 73 72 and the decimation processing blocks are core characteristics of an oscillator characterization
system, and must reject out-of-band signals below the targeted phase noise -- typically in the 74 73 system, and must reject out-of-band signals below the targeted phase noise -- typically in the
sub -170~dBc/Hz for ultrastable oscillator we aim at characterizing. The filter blocks will 75 74 sub -170~dBc/Hz for ultrastable oscillator we aim at characterizing. The filter blocks will
use most resources of the Field Programmable Gate Array (FPGA) used to process the radiofrequency 76 75 use most resources of the Field Programmable Gate Array (FPGA) used to process the radiofrequency
datastream: optimizing the performance of the filter while reducing the needed resources is 77 76 datastream: optimizing the performance of the filter while reducing the needed resources is
hence tackled in a systematic approach using optimization techniques. Most significantly, we 78 77 hence tackled in a systematic approach using optimization techniques. Most significantly, we
tackle the issue by attempting to cascade multiple Finite Impulse Response (FIR) filters with 79 78 tackle the issue by attempting to cascade multiple Finite Impulse Response (FIR) filters with
tunable number of coefficients and tunable number of bits representing the coefficients and the 80 79 tunable number of coefficients and tunable number of bits representing the coefficients and the
data being processed. 81 80 data being processed.
82 81
\section{Finite impulse response filter} 83 82 \section{Finite impulse response filter}
84 83
We select FIR filter for their unconditional stability and ease of design. A FIR filter is defined 85 84 We select FIR filter for their unconditional stability and ease of design. A FIR filter is defined
by a set of weights $b_k$ applied to the inputs $x_k$ through a convolution to generate the 86 85 by a set of weights $b_k$ applied to the inputs $x_k$ through a convolution to generate the
outputs $y_k$ 87 86 outputs $y_k$
$$y_n=\sum_{k=0}^N b_k x_{n-k}$$ 88 87 $$y_n=\sum_{k=0}^N b_k x_{n-k}$$
89 88
As opposed to an implementation on a general purpose processor in which word size is defined by the 90 89 As opposed to an implementation on a general purpose processor in which word size is defined by the
processor architecture, implementing such a filter on an FPGA offer more degrees of freedom since 91 90 processor architecture, implementing such a filter on an FPGA offer more degrees of freedom since
not only the coefficient values and number of taps must be defined, but also the number of bits 92 91 not only the coefficient values and number of taps must be defined, but also the number of bits
defining the coefficients and the sample size. For this reason, and because we consider pipeline 93 92 defining the coefficients and the sample size. For this reason, and because we consider pipeline
processing (as opposed to First-In, First-Out memory batch processing) of radiofrequency 94 93 processing (as opposed to First-In, First-Out FIFO memory batch processing) of radiofrequency
signals, High Level Synthesis (HLS) languages \cite{kasbah2008multigrid} are not considered but 95 94 signals, High Level Synthesis (HLS) languages \cite{kasbah2008multigrid} are not considered but
the problem is tackled at the Very-high-speed-integrated-circuit Hardware Description Language (VHDL). 96 95 the problem is tackled at the Very-high-speed-integrated-circuit Hardware Description Language (VHDL).
Since latency is not an issue in a openloop phase noise characterization instrument, the large 97 96 Since latency is not an issue in a openloop phase noise characterization instrument, the large
numbre of taps in the FIR, as opposed to the shorter Infinite Impulse Response (IIR) filter, 98 97 numbre of taps in the FIR, as opposed to the shorter Infinite Impulse Response (IIR) filter,
is not considered as an issue as would be in a closed loop system. 99 98 is not considered as an issue as would be in a closed loop system.
100 99
The coefficients are classically expressed as floating point values. However, this binary 101 100 The coefficients are classically expressed as floating point values. However, this binary
number representation is not efficient for fast arithmetic computation by an FPGA. Instead, 102 101 number representation is not efficient for fast arithmetic computation by an FPGA. Instead,
we select to quantify these floating point values into integer values. This quantization 103 102 we select to quantify these floating point values into integer values. This quantization
will result in some precision loss. 104 103 will result in some precision loss.
105 104
%As illustrated in Fig. \ref{float_vs_int}, we see that we aren't 106 105 %As illustrated in Fig. \ref{float_vs_int}, we see that we aren't
%need too coefficients or too sample size. If we have lot of coefficients but a small sample size, 107 106 %need too coefficients or too sample size. If we have lot of coefficients but a small sample size,
%the first and last are equal to zero. But if we have too sample size for few coefficients that not improve the quality. 108 107 %the first and last are equal to zero. But if we have too sample size for few coefficients that not improve the quality.
109 108
% JMF je ne comprends pas la derniere phrase ci-dessus ni la figure ci dessous 110 109 % JMF je ne comprends pas la derniere phrase ci-dessus ni la figure ci dessous
% AH en gros je voulais dire que prendre trop peu de bit avec trop de coeff, ça induit ta figure (bien mieux faite que moi) 111 110 % AH en gros je voulais dire que prendre trop peu de bit avec trop de coeff, ça induit ta figure (bien mieux faite que moi)
% et que l'inverse trop de bit sur pas assez de coeff on ne gagne rien, je vais essayer de la reformuler 112 111 % et que l'inverse trop de bit sur pas assez de coeff on ne gagne rien, je vais essayer de la reformuler
113 112
%\begin{figure}[h!tb] 114 113 %\begin{figure}[h!tb]
%\includegraphics[width=\linewidth]{images/float-vs-integer.pdf} 115 114 %\includegraphics[width=\linewidth]{images/float-vs-integer.pdf}
%\caption{Impact of the quantization resolution of the coefficients} 116 115 %\caption{Impact of the quantization resolution of the coefficients}
%\label{float_vs_int} 117 116 %\label{float_vs_int}
%\end{figure} 118 117 %\end{figure}
119 118
119 \begin{figure}[h!tb]
120 \includegraphics[width=\linewidth]{images/demo_filtre}
121 \caption{Impact of the quantization resolution of the coefficients: the quantization is
122 set to 6~bits, setting the 30~first and 30~last coefficients out of the initial 128~band-pass
123 filter coefficients to 0.}
124 \label{float_vs_int}
125 \end{figure}
126
The tradeoff between quantization resolution and number of coefficients when considering 120 127 The tradeoff between quantization resolution and number of coefficients when considering
integer operations is not trivial. As an illustration of the issue related to the 121 128 integer operations is not trivial. As an illustration of the issue related to the
relation between number of fiter taps and quantization, Fig. \ref{float_vs_int} exhibits 122 129 relation between number of fiter taps and quantization, Fig. \ref{float_vs_int} exhibits
a 128-coefficient FIR bandpass filter designed using floating point numbers (blue). Upon 123 130 a 128-coefficient FIR bandpass filter designed using floating point numbers (blue). Upon
quantization on 6~bit integers, 60 of the 128~coefficients in the beginning and end of the 124 131 quantization on 6~bit integers, 60 of the 128~coefficients in the beginning and end of the
taps become null, making the large number of coefficients irrelevant and allowing to save 125 132 taps become null, making the large number of coefficients irrelevant and allowing to save
processing resource by shrinking the filter length. This tradeoff aimed at minimizing resources 126 133 processing resource by shrinking the filter length. This tradeoff aimed at minimizing resources
to reach a given rejection level, or maximizing out of band rejection for a given computational 127 134 to reach a given rejection level, or maximizing out of band rejection for a given computational
resource, will drive the investigation on cascading filters designed with varying tap resolution 128 135 resource, will drive the investigation on cascading filters designed with varying tap resolution
and tap length, as will be shown in the next section. 129 136 and tap length, as will be shown in the next section. Indeed, our development strategy closely
137 follows the skeleton approach \cite{crookes1998environment, crookes2000design, benkrid2002towards}
138 in which basic blocks are defined and characterized before being assembled \cite{hide}
139 in a complete processing chain. In our case, assembling the filter blocks is a simpler block
140 combination process since we assume a single value to be processed and a single value to be
141 generated at each clock cycle. The FIR filters will not be considered to decimate in the
142 current implementation: the decimation is assumed to be located after the FIR cascade at the
143 moment.
130 144
\begin{figure}[h!tb] 131
\includegraphics[width=\linewidth]{images/demo_filtre} 132
\caption{Impact of the quantization resolution of the coefficients: the quantization is 133
set to 6~bits, setting the 30~first and 30~last coefficients out of the initial 128~band-pass 134
filter coefficients to 0.} 135
\label{float_vs_int} 136
\end{figure} 137
138
\section{Filter optimization} 139 145 \section{Filter optimization}
140 146
A basic approach for implementing the FIR filter is to compute the transfer function of 141 147 A basic approach for implementing the FIR filter is to compute the transfer function of
a monolithic filter: this single filter defines all coefficients with the same resolution 142 148 a monolithic filter: this single filter defines all coefficients with the same resolution
(number of bits) and processes data represented with their own resolution. Meeting the 143 149 (number of bits) and processes data represented with their own resolution. Meeting the
filter shape requires a large number of coefficients, limited by resources of the FPGA since 144 150 filter shape requires a large number of coefficients, limited by resources of the FPGA since
this filter must process data stream at the radiofrequency sampling rate after the mixer. 145 151 this filter must process data stream at the radiofrequency sampling rate after the mixer.
146 152
An optimization problem \cite{leung2004handbook} aims at improving one or many 147 153 An optimization problem \cite{leung2004handbook} aims at improving one or many
performance criteria within a constrained resource environment. Amongst the tools 148 154 performance criteria within a constrained resource environment. Amongst the tools
developed to meet this aim, Mixed-Integer Linear Programming (MILP) provides the framework to 149 155 developed to meet this aim, Mixed-Integer Linear Programming (MILP) provides the framework to
provide a formal definition of the stated problem and search for an optimal use of available 150 156 provide a formal definition of the stated problem and search for an optimal use of available
resources \cite{yu2007design, kodek1980design}. 151 157 resources \cite{yu2007design, kodek1980design}.
152 158
First we need to ensure that our problem is a real optimization problem. When 153 159 First we need to ensure that our problem is a real optimization problem. When
we design a process inside the FPGA we want reach some requirements by example the 154 160 we design a process inside the FPGA we want reach some requirements by example the
throughput, the computation time or the rejection noise... But we some limited 155 161 throughput, the computation time or the rejection noise... But we some limited
resources to design the process like BRAM (high performance RAM), DSP (Digital Signal Processor) 156 162 resources to design the process like BRAM (high performance RAM), DSP (Digital Signal Processor)
or LUT (Look Up Table). Since we want optimize some criteria and we have some 157 163 or LUT (Look Up Table). Since we want optimize some criteria and we have some
limited resources our problem is a classical optimization problem. 158 164 limited resources our problem is a classical optimization problem.
159 165
Specifically the degrees of freedom when addressing the problem of replacing the single monolithic 160 166 Specifically the degrees of freedom when addressing the problem of replacing the single monolithic
FIR with a cascade of optimized filters are the number of coefficients $N_i$ of each filter $i$, 161 167 FIR with a cascade of optimized filters are the number of coefficients $N_i$ of each filter $i$,
the number of bits $C_i$ representing the coefficients and the number of bits $D_i$ representing 162 168 the number of bits $C_i$ representing the coefficients and the number of bits $D_i$ representing
the data fed to the filter. Because each FIR in the chain is fed the output of the previous stage, 163 169 the data fed to the filter. Because each FIR in the chain is fed the output of the previous stage,
the optimization of the complete processing chain within a constrained resource environment is not 164 170 the optimization of the complete processing chain within a constrained resource environment is not
trivial. The resource occupation of a FIR filter is considered as $D_i+C_i \times N_i)$ which is 165 171 trivial. The resource occupation of a FIR filter is considered as $D_i+C_i \times N_i)$ which is
the number of bits needed in a worst case condition to represent the output of the FIR. 166 172 the number of bits needed in a worst case condition to represent the output of the FIR. Such an
Unfortunately this representation is not sufficient to represent the real occupation inside FPGA. 167 173 occupied area estimate assumes that the number of gates scales as the number of bits and the number
In fact the FPGA have some BRAM block on which the coefficients are stored and each BRAM are not 168 174 of coefficients, but does not account for the detailed implementation of the hardware. Indeed,
share between different filters. Moreover the multiplication need DSP to be 169 175 various FPGA implementations will provide different hardware functionalities, and we shall consider
perform. Those DSP are in limited quantity so in the future we shall to consider this. 170 176 at the end of the design a synthesis step using vendor software to assess the validity of the solution
177 found. As an example of the limitation linked to the lack of detailed hardware consideration, Block Random
178 Access Memory (BRAM) used to store filter coefficients are not shared amongst filters, and multiplications
179 are most efficiently implemented by using Digital Signal Processing (DSP) blocks whose input word
180 size is finite. DSPs are a scarce resource to be saved in a practical implementation. Keeping a high
181 abstraction on the resource occupation is nevertheless selected in the following discussion in order
182 to leave enough degrees of freedom in the problem to try and find original solutions: too many
183 constraints in the initial statement of the problem leave little room for finding an optimal solution.
171 184
At the moment our model can be express like this : 172 185 \begin{figure}[h!tb]
186 \begin{center}
187 \includegraphics[width=.5\linewidth]{schema2}
188 \caption{Shape of the filter: the bandpass BP is considered to occupy the initial
189 40\% of the Nyquist frequency range, the bandstop the last 40\%, allowing 20\% transition
190 width.}
191 \label{rejection-shape}
192 \end{center}
193 \end{figure}
194
195 Following these considerations, the model is expressed as:
\begin{align} 173 196 \begin{align}
\begin{cases} 174 197 \begin{cases}
\mathcal{R}_i &= \mathcal{F}(N_i, C_i)\\ 175 198 \mathcal{R}_i &= \mathcal{F}(N_i, C_i)\\
\mathcal{A}_i &= N_i * C_i + D_i\\ 176 199 \mathcal{A}_i &= N_i * C_i + D_i\\
\Delta_i &= \Delta _{i-1} + \mathcal{P}_i 177 200 \Delta_i &= \Delta _{i-1} + \mathcal{P}_i
\end{cases} 178 201 \end{cases}
\label{model-FIR} 179 202 \label{model-FIR}
\end{align} 180 203 \end{align}
To explain the system \ref{model-FIR}, $\mathcal{R}_i$ represent the rejection of depending on $N_i$ and $C_i$, $\mathcal{A}$ 181 204 To explain the system \ref{model-FIR}, $\mathcal{R}_i$ represents the rejection of depending on $N_i$ and $C_i$, $\mathcal{A}$
is just theoretical occupation and $\Delta_i$ is the total rejection for the current stage $i$. At this moment 182 205 is a theoretical area occupation of the processing block on the FPGA, and $\Delta_i$ is the total rejection for the current stage $i$.
we are not able to express the function $\mathcal{F}$ so we are run some simulations to determine the rejection noise depending 183 206 Since the function $\mathcal{F}$ cannot be explictly expressed, we run simulations to determine the rejection depending
on $N_i$ and $C_i$. But to choose the right filter we must define clearly the rejection criterion. If we take incorrect criterion 184 207 on $N_i$ and $C_i$. However, selecting the right filter requires a clear definition of the rejection criterion. Selecting an
the linear program will produce a wrong solution. So we define a criterion to avoid ripple on passband and just keep 185 208 incorrect criterion will lead the linear program solver to produce a solution which might not meet the user requirements.
the maximum of rejection on the stopband (see the figure \ref{rejection-shape}). Thank to this system, we can able to design our linear program. 186 209 Hence, amongst various criteria including the mean or median value of the FIR response in the stopband, we have designed
210 a criterion aimed at avoiding ripples on passband and considering the maximum of the FIR spectral response in the stopband
211 (Fig. \ref{rejection-shape}). The bandpass criterion is defined as the sum of the absolute values of the spectral response
212 in the bandpass, reminiscent of a standard deviation of the spectral response: this criterion must be minimized to avoid
213 ripples in the passband. The stopband transfer function maximum must also be minimized in order to improve the filter
214 rejection capability. Weighing these two criteria allows designing the linear program to be solved.
187 215
\begin{figure}[h!tb] 188 216 \begin{figure}[h!tb]
\begin{center} 189
\includegraphics[width=.5\linewidth]{schema2} 190
\caption{Shape of rejection} 191
\label{rejection-shape} 192
\end{center} 193
\end{figure} 194
195
\begin{figure}[h!tb] 196
\includegraphics[width=\linewidth]{images/noise-rejection.pdf} 197 217 \includegraphics[width=\linewidth]{images/noise-rejection.pdf}
\caption{Rejection as a function of number of coefficients and number of bits} 198 218 \caption{Rejection as a function of number of coefficients and number of bits}
\label{noise-rejection} 199 219 \label{noise-rejection}
\end{figure} 200 220 \end{figure}
201 221
The objective function maximizes the noise rejection ($\max(\Delta_{i_{\max}})$) while keeping resource occupation below 202 222 The objective function maximizes the noise rejection ($\max(\Delta_{i_{\max}})$) while keeping resource occupation below
a user-defined threshold. The MILP solver is allowed to choose the number of successive 203 223 a user-defined threshold. The MILP solver is allowed to choose the number of successive
filters, within an upper bound. The last problem is to model the noise rejection. Since filter 204 224 filters, within an upper bound. The last problem is to model the noise rejection. Since filter
noise rejection capability is not modeled with linear equation, a look-up-table is generated 205 225 noise rejection capability is not modeled with linear equations, a look-up-table is generated
for multiple filter configurations in which the $C_i$, $D_i$ and $N_i$ parameters are varied: for each 206 226 for multiple filter configurations in which the $C_i$, $D_i$ and $N_i$ parameters are varied: for each
one of these conditions, the low-pass filter rejection defined as the mean power between 207 227 one of these conditions, the low-pass filter rejection defined as the mean power between
half the Nyquist frequency and the Nyquist frequency is stored as computed by the frequency response 208 228 half the Nyquist frequency and the Nyquist frequency is stored as computed by the frequency response
of the digital filter (Fig. \ref{noise-rejection}). 209 229 of the digital filter (Fig. \ref{noise-rejection}).
210 230
Linear program formalism for solving the problem is well documented: an objective function is 211 231 Linear program formalism for solving the problem is well documented: an objective function is
defined which is linearly dependent on the parameters to be optimized. Constraints are expressed 212 232 defined which is linearly dependent on the parameters to be optimized. Constraints are expressed
as linear equation and solved using one of the available solvers, in our case GLPK\cite{glpk}. 213 233 as linear equation and solved using one of the available solvers, in our case GLPK\cite{glpk}.
With the notation explain in system \ref{model-FIR}, we have defined our linear problem like this: 214 234 With the notation explain in system \ref{model-FIR}, we have defined our linear problem like this:
\paragraph{Variables} 215 235 \paragraph{Variables}
\begin{align*} 216 236 \begin{align*}
x_{i,j} \in \lbrace 0,1 \rbrace & \text{ $i$ is a specific filter} \\ 217 237 x_{i,j} \in \lbrace 0,1 \rbrace & \text{ $i$ is a given filter} \\
& \text{ $j$ is the stage} \\ 218 238 & \text{ $j$ is the stage} \\
& \text{ If $x_{i,j}$ is equal to 1, the filter is selected} \\ 219 239 & \text{ If $x_{i,j}$ is equal to 1, the filter is selected} \\
\end{align*} 220 240 \end{align*}
\paragraph{Constants} 221 241 \paragraph{Constants}
\begin{align*} 222 242 \begin{align*}
\mathcal{F} = \lbrace F_1 ... F_p \rbrace & \text{ All possible filters}\\ 223 243 \mathcal{F} = \lbrace F_1 ... F_p \rbrace & \text{ All possible filters}\\
& \text{ $p$ is the number of different filters} \\ 224 244 & \text{ $p$ is the number of different filters} \\
C(i) & \text{ Constant to let the number of coefficients}\\ 225 245 C(i) & \text{ % Constant to let the
& \text{ for the filter $i$}\\ 226 246 number of coefficients %} \\ & \text{
\pi_C(i) & \text{ Constant to let the number of bits of}\\ 227 247 for filter $i$}\\
& \text{ each coefficient for the filter $i$}\\ 228 248 \pi_C(i) & \text{ % Constant to let the
\mathcal{A}_{\max} & \text{ Max space available inside the FPGA} 229 249 number of bits of %}\\ & \text{
250 each coefficient for filter $i$}\\
251 \mathcal{A}_{\max} & \text{ Total space available inside the FPGA}
\end{align*} 230 252 \end{align*}
\paragraph{Constraints} 231 253 \paragraph{Constraints}
\begin{align*} 232 254 \begin{align}
1 \leq i \leq p & \\ 233 255 1 \leq i \leq p & \nonumber\\
1 \leq j \leq q & \text{ $q$ is the max of filter stage} \\ 234 256 1 \leq j \leq q & \text{ $q$ is the max of filter stage} \nonumber \\
\forall j, \mathlarger{\sum_{i}} x_{i,j} = 1 & \text{ At most one filter by stage} \\ 235 257 \forall j, \mathlarger{\sum_{i}} x_{i,j} = 1 & \text{ At most one filter by stage} \nonumber\\
\mathcal{S}_0 = 0 & \text{ initial occupation}\\ 236 258 \mathcal{S}_0 = 0 & \text{ initial occupation} \nonumber\\
\forall j, \mathcal{S}_j = \mathcal{S}_{j-1} + \forall i, x_{i,j} \times \mathcal{A}_i \\%\label{cstr_size} 237 259 \forall j, \mathcal{S}_j = \mathcal{S}_{j-1} + \forall i, x_{i,j} \times \mathcal{A}_i \label{cstr_size} \\
\mathcal{S} \leq \mathcal{S}_{\max} \\ 238 260 \mathcal{S} \leq \mathcal{S}_{\max}\nonumber \\
\mathcal{N}_0 = 0 & \text{ initial rejection}\\ 239 261 \mathcal{N}_0 = 0 & \text{ initial rejection}\nonumber\\
\forall j, \mathcal{N}_j = \mathcal{N}_{j-1} + \forall i, x_{i,j} \times \mathcal{R}_i \\%\label{cstr_rejection} 240 262 \forall j, \mathcal{N}_j = \mathcal{N}_{j-1} + \forall i, x_{i,j} \times \mathcal{R}_i \label{cstr_rejection} \\
\mathcal{N}_q \geqslant 160 & \text{ an user's bound}\\ 241 263 \mathcal{N}_q \geqslant 160 & \text{ an user defined bound}\nonumber\\
\end{align*} 242 264 & \text{ (e.g. 160~dB here)}\nonumber\\\nonumber
265 \end{align}
\paragraph{Goal} 243 266 \paragraph{Goal}
\begin{align*} 244 267 \begin{align*}
\min \mathcal{S}_q 245 268 \min \mathcal{S}_q
\end{align*} 246 269 \end{align*}
247 270
% AH j'aimerai mettre deux equations avec un label mais je ne sais pas comment faire 248 271 % AH j'aimerai mettre deux equations avec un label mais je ne sais pas comment faire
The constraint \ref{cstr_size} means the occupation for the current stage $j$ depends on 249 272 The constraint \ref{cstr_size} means the occupation for the current stage $j$ depends on
the previous occupation and the occupation of current selected filter (it is possible 250 273 the previous occupation and the occupation of current selected filter (it is possible
that no filter is selected for this stage). And the second one \ref{cstr_rejection} 251 274 that no filter is selected for this stage). And the second one \ref{cstr_rejection}
means the same thing but for the rejection, the rejection depends the previous rejection 252 275 means the same thing but for the rejection, the rejection depends the previous rejection
plus the rejection of selected filter. 253 276 plus the rejection of selected filter.
254 277
The MILP solver provides a solution to the problem by selecting a series of small FIR with 255 278 The MILP solver provides a solution to the problem by selecting a series of small FIR with
increasing number of bits representing data and coefficients as well as an increasing number 256 279 increasing number of bits representing data and coefficients as well as an increasing number
of coefficients, instead of a single monolithic filter. Fig. \ref{compare-fir} exhibits the 257 280 of coefficients, instead of a single monolithic filter. Fig. \ref{compare-fir} exhibits the
performance comparison between one solution and a monolithic FIR when selecting a cutoff 258 281 performance comparison between one solution and a monolithic FIR when selecting a cutoff
frequency of half the Nyquist frequency: a series of 5 FIR and a series of 10 FIR with the 259 282 frequency of half the Nyquist frequency: a series of 5 FIR and a series of 10 FIR with the
same space usage are provided as selected by the MILP solver. The FIR cascade provides improved 260 283 same space usage are provided as selected by the MILP solver. The FIR cascade provides improved
rejection than the monolithic FIR at the expense of a lower cutoff frequency which remains to 261 284 rejection than the monolithic FIR at the expense of a lower cutoff frequency which remains to
be tuned or compensated for. 262 285 be tuned or compensated for.
263 286
\begin{figure}[h!tb] 264 287 \begin{figure}[h!tb]
% \includegraphics[width=\linewidth]{images/compare-fir.pdf} 265 288 % \includegraphics[width=\linewidth]{images/compare-fir.pdf}
\includegraphics[width=\linewidth]{images/fir-mono-vs-fir-series-noise-fixe-jmf-light.pdf} 266 289 \includegraphics[width=\linewidth]{images/fir-mono-vs-fir-series-noise-fixe-jmf-light.pdf}
\caption{Comparison of the rejection capability between a series of FIR and a monolithic FIR 267 290 \caption{Comparison of the rejection capability between a series of FIR and a monolithic FIR
with a cutoff frequency set at half the Nyquist frequency.} 268 291 with a cutoff frequency set at half the Nyquist frequency.}
\label{compare-fir} 269 292 \label{compare-fir}
\end{figure} 270 293 \end{figure}
271 294
The resource occupation when synthesizing such FIR on a Xilinx FPGA is summarized as Tab. \ref{t1}. 272 295 The resource occupation when synthesizing such FIR on a Xilinx FPGA is summarized as Tab. \ref{t1}.
273 296
\begin{table}[h!tb] 274 297 \begin{table}[h!tb]
\caption{Resource occupation on a Xilinx Zynq-7000 series FPGA when synthesizing the FIR cascade 275 298 \caption{Resource occupation on a Xilinx Zynq-7000 series FPGA when synthesizing the FIR cascade
identified as optimal by the MILP solver within a finite resource criterion. The last line refers 276 299 identified as optimal by the MILP solver within a finite resource criterion. The last line refers
to available resources on a Zynq-7020 as found on the Zedboard.} 277 300 to available resources on a Zynq-7020 as found on the Zedboard.}
\begin{center} 278 301 \begin{center}
\begin{tabular}{|c|cccc|}\hline 279 302 \begin{tabular}{|c|cccc|}\hline
FIR & BlockRAM & LookUpTables & DSP & rejection (dB)\\\hline\hline 280 303 FIR & BlockRAM & LookUpTables & DSP & rejection (dB)\\\hline\hline
1 (monolithic) & 1 & 76183 & 220 & -162 \\ 281 304 1 (monolithic) & 1 & 76183 & 220 & -162 \\
5 & 5 & 18597 & 220 & -160 \\ 282 305 5 & 5 & 18597 & 220 & -160 \\
10 & 8 & 24729 & 220 & -161 \\\hline\hline 283 306 10 & 8 & 24729 & 220 & -161 \\\hline\hline
\textbf{Zynq 7020} & \textbf{420} & \textbf{53200} & \textbf{220} & \\\hline 284 307 \textbf{Zynq 7020} & \textbf{420} & \textbf{53200} & \textbf{220} & \\\hline
\end{tabular} 285 308 \end{tabular}
\end{center} 286 309 \end{center}
%\vspace{-0.7cm} 287 310 %\vspace{-0.7cm}
\label{t1} 288 311 \label{t1}
\end{table} 289 312 \end{table}
290 313
\section{Filter coefficient selection} 291 314 \section{Filter coefficient selection}
292 315
The coefficients of a single monolithic filter are computed as the impulse response 293 316 The coefficients of a single monolithic filter are computed as the impulse response
of the filter transfer function, and practically approximated by a multitude of methods 294 317 of the filter transfer function, and practically approximated by a multitude of methods
including least square optimization (Matlab's {\tt firls} function), Hamming or Kaiser windowing 295 318 including least square optimization (Matlab's {\tt firls} function), Hamming or Kaiser windowing
(Matlab's {\tt fir1} function). Cascading filters opens a new optimization opportunity by 296 319 (Matlab's {\tt fir1} function).
selecting various coefficient sets depending on the number of coefficients. Fig. \ref{2} 297
illustrates that for a number of coefficients ranging from 8 to 47, {\tt fir1} provides a better 298
rejection than {\tt firls}: since the linear solver increases the number of coefficients along 299
the processing chain, the type of selected filter also changes depending on the number of coefficients 300
and evolves along the processing chain. 301
302 320
\begin{figure}[h!tb] 303 321 \begin{figure}[h!tb]
\includegraphics[width=\linewidth]{images/fir1-vs-firls} 304 322 \includegraphics[width=\linewidth]{images/fir1-vs-firls}
\caption{Evolution of the rejection capability of least-square optimized filters and Hamming 305 323 \caption{Evolution of the rejection capability of least-square optimized filters and Hamming
FIR filters as a function of the number of coefficients, for floating point numbers and 8-bit 306 324 FIR filters as a function of the number of coefficients, for floating point numbers and 8-bit
encoded integers.} 307 325 encoded integers.}
\label{2} 308 326 \label{2}
\end{figure} 309 327 \end{figure}
310 328
329 Cascading filters opens a new optimization opportunity by
330 selecting various coefficient sets depending on the number of coefficients. Fig. \ref{2}
331 illustrates that for a number of coefficients ranging from 8 to 47, {\tt fir1} provides a better
332 rejection than {\tt firls}: since the linear solver increases the number of coefficients along
333 the processing chain, the type of selected filter also changes depending on the number of coefficients
334 and evolves along the processing chain.
335
\section{Conclusion} 311 336 \section{Conclusion}
312 337
We address the optimization problem of designing a low-pass filter chain in a Field Programmable Gate 313 338 We address the optimization problem of designing a low-pass filter chain in a Field Programmable Gate
Array for improved noise rejection within constrained resource occupation, as needed for 314 339 Array for improved noise rejection within constrained resource occupation, as needed for
real time processing of radiofrequency signal when characterizing spectral phase noise 315 340 real time processing of radiofrequency signal when characterizing spectral phase noise
characteristics of stable oscillators. The flexibility of the digital approach makes the result 316 341 characteristics of stable oscillators. The flexibility of the digital approach makes the result
best suited for closing the loop and using the measurement output in a feedback loop for 317 342 best suited for closing the loop and using the measurement output in a feedback loop for
controlling clocks, e.g. in a quartz-stabilized high performance clock whose long term behavior 318 343 controlling clocks, e.g. in a quartz-stabilized high performance clock whose long term behavior
is controlled by non-piezoelectric resonator (sapphire resonator, microwave or optical 319 344 is controlled by non-piezoelectric resonator (sapphire resonator, microwave or optical
atomic transition). 320 345 atomic transition).
321 346
\section*{Acknowledgement} 322 347 \section*{Acknowledgement}
323 348
This work is supported by the ANR Programme d'Investissement d'Avenir in 324 349 This work is supported by the ANR Programme d'Investissement d'Avenir in
progress at the Time and Frequency Departments of the FEMTO-ST Institute 325 350 progress at the Time and Frequency Departments of the FEMTO-ST Institute
(Oscillator IMP, First-TF and Refimeve+), and by R\'egion de Franche-Comt\'e. 326 351 (Oscillator IMP, First-TF and Refimeve+), and by R\'egion de Franche-Comt\'e.
The authors would like to thank E. Rubiola, F. Vernotte, G. Cabodevila for support and 327 352 The authors would like to thank E. Rubiola, F. Vernotte, G. Cabodevila for support and
fruitful discussions. 328 353 fruitful discussions.
329 354
355 \bibliographystyle{IEEEtran}
356 \bibliography{references,biblio}
357 \end{document}
330 358
XXX 331
332
\subsubsection{Contraintes} 333
334
Dans les r\'ef\'erences \cite{zhuo2007scalable, olariu1993computing, pan1999improved}, les auteurs 335
proposent tous des optimisations hardware uniquement. Cependant ces articles sont focalis\'es sur des optimisations mat\'erielles 336
or notre objectif est de trouver une formalisation math\'ematique d'un FPGA. 337
338
Une dernière approche que nous avons \'etudi\'ee est l'utilisation de \emph{skeletons}. D. Crookes et A. Benkrid 339
ont beaucoup parl\'e de cette m\'ethode dans leur articles \cite{crookes1998environment, crookes2000design, benkrid2002towards}. 340
L'id\'ee essentielle est qu'ils r\'ealisent des composants très optimis\'es et param\'etrables. Ainsi lorsqu'ils 341
veulent faire un d\'eveloppement, ils utilisent les blocs d\'ejà faits. 342
343
Ces blocs repr\'esentent une \'etape de calcul (une d\'ecimation, un filtrage, une modulation, une 344
d\'emodulation etc...). En prenant le cas du FIR, on rend param\'etrables les valeurs des coefficients 345
utilis\'es pour le produit de convolutions ainsi que leur nombre. Le facteur de d\'ecimation est 346
lui aussi param\'etrable. 347
348
On gagne ainsi beaucoup de temps de d\'eveloppement car on r\'eutilise des composants d\'ejà \'eprouv\'es et optimis\'es. 349
De plus, au fil des projets, on constitue une bibliothèque de composants nous 350
permettant de faire une chaine complète très simplement. 351
352
K. Benkrid, S. Belkacemi et A. Benkrid dans leur article\cite{hide} caract\'erisent 353
ces blocs en Prolog pour faire un langage descriptif permettant d'assembler les blocs de manière 354
optimale. En partant de cette description, ils arrivent à g\'en\'erer directement le code VHDL. 355
356
\begin{itemize} 357
\item la latence du bloc repr\'esente, en coups d'horloge, le temps entre l'entr\'ee de la donn\'ee 358
et le temps où la même donn\'ee ressort du bloc. 359
\item l'acceptance repr\'esente le nombre de donn\'ees par coup d'horloge que le bloc est capable 360
de traiter. 361
\item la sortance repr\'esente le nombre de donn\'ees qui sortent par coup d'horloge. 362
\end{itemize} 363
364
Gr\^ace à cela, le logiciel est capable de donner une impl\'ementation optimale d'un problème qu'on lui 365
soumet. Le problème ne se d\'efinit pas uniquement par un r\'esultat attendu mais aussi par des 366
contraintes de d\'ebit et/ou de pr\'ecision. 367
368
Dans une second temps, nous nous sommes aussi int\'eress\'es à des articles d'ordonnancement. 369
Nous avons notamment lu des documents parlant des cas des micro-usines. 370
371
Les micro-usines ressemblent un peu à des FPGA dans le sens où on connait à l'avance les 372
t\^aches à effectuer et leurs caract\'eristiques. Nous allons donc nous inspirer 373
de leur modèle pour essayer de construire le notre. 374
375
Dans sa thèse A. Dobrila \cite{these-alex} traite d'un problème de tol\'erance aux pannes 376
dans le contextes des mirco-usines. Mais les FPGA ne sont pas concern\'es dans la mesure 377
où si le composant tombe en panne, tout le traitement est paralys\'e. Cette thèse nous a n\'eanmoins 378
permis d'avoir un exemple de formalisation de problème. 379
380
Pour finir nous avons lu la thèse de M. Coqblin \cite{these-mathias} qui elle aussi traite du sujet 381
des micro-usines. Le travail de M. Coqblin porte surtout sur une chaine de traitement 382
reconfigurable, il tient compte dans ses travaux du surcoût engendr\'e par la reconfiguration d'une machine. 383
Cela n'est pas tout à fait exploitable dans notre contexte puisqu'une 384
puce FPGA d\'es qu'elle est programm\'ee n'a pas la possibilit\'e de reconfigurer une partie de sa chaine de 385
traitement. Là encore, nous avions un exemple de formalisation d'un problème. 386
387
Pour conclure, nous avons vu deux approches li\'ees à deux domaines diff\'erents. La première est le 388
point de vue \'electronique qui se focalise principalement sur des optimisations mat\'erielles ou algorithmiques. 389
La seconde est le point de vue informatique : les modèles sont très g\'en\'eriques et ne sont pas 390
adapt\'es au cas des FPGA. La suite de ce rapport se concentrera donc sur la recherche d'un compromis 391
entre ces deux points de vue. 392
393
\section{Contexte d'ordonnancement} 394 359 \section{Contexte d'ordonnancement}
Dans cette partie, nous donnerons des d\'efinitions de termes rattach\'es au domaine de l'ordonnancement 395 360 Dans cette partie, nous donnerons des d\'efinitions de termes rattach\'es au domaine de l'ordonnancement
et nous verrons que le sujet trait\'e se rapproche beaucoup d'un problème d'ordonnancement. De ce fait 396 361 et nous verrons que le sujet trait\'e se rapproche beaucoup d'un problème d'ordonnancement. De ce fait
nous pourrons aller plus loin que les travaux vus pr\'ec\'edemment et nous tenterons des approches d'ordonnancement 397 362 nous pourrons aller plus loin que les travaux vus pr\'ec\'edemment et nous tenterons des approches d'ordonnancement
et d'optimisation. 398 363 et d'optimisation.
399 364
\subsection{D\'efinition du vocabulaire} 400 365 \subsection{D\'efinition du vocabulaire}
Avant tout, il faut d\'efinir ce qu'est un problème d'optimisation. Il y a deux d\'efinitions 401 366 Avant tout, il faut d\'efinir ce qu'est un problème d'optimisation. Il y a deux d\'efinitions
importantes à donner. La première est propos\'ee par Legrand et Robert dans leur livre \cite{def1-ordo} : 402 367 importantes à donner. La première est propos\'ee par Legrand et Robert dans leur livre \cite{def1-ordo} :
\begin{definition} 403 368 \begin{definition}
\label{def-ordo1} 404 369 \label{def-ordo1}
Un ordonnancement d'un système de t\^aches $G\ =\ (V,\ E,\ w)$ est une fonction $\sigma$ : 405 370 Un ordonnancement d'un système de t\^aches $G\ =\ (V,\ E,\ w)$ est une fonction $\sigma$ :
$V \rightarrow \mathbb{N}$ telle que $\sigma(u) + w(u) \leq \sigma(v)$ pour toute arête $(u,\ v) \in E$. 406 371 $V \rightarrow \mathbb{N}$ telle que $\sigma(u) + w(u) \leq \sigma(v)$ pour toute arête $(u,\ v) \in E$.
\end{definition} 407 372 \end{definition}
408 373
Dit plus simplement, l'ensemble $V$ repr\'esente les t\^aches à ex\'ecuter, l'ensemble $E$ repr\'esente les d\'ependances 409 374 Dit plus simplement, l'ensemble $V$ repr\'esente les t\^aches à ex\'ecuter, l'ensemble $E$ repr\'esente les d\'ependances
des t\^aches et $w$ les temps d'ex\'ecution de la t\^ache. La fonction $\sigma$ donne donc l'heure de d\'ebut de 410 375 des t\^aches et $w$ les temps d'ex\'ecution de la t\^ache. La fonction $\sigma$ donne donc l'heure de d\'ebut de
chacune des t\^aches. La d\'efinition dit que si une t\^ache $v$ d\'epend d'une t\^ache $u$ alors 411 376 chacune des t\^aches. La d\'efinition dit que si une t\^ache $v$ d\'epend d'une t\^ache $u$ alors
la date de d\'ebut de $v$ sera plus grande ou \'egale au d\'ebut de l'ex\'ecution de la t\^ache $u$ plus son 412 377 la date de d\'ebut de $v$ sera plus grande ou \'egale au d\'ebut de l'ex\'ecution de la t\^ache $u$ plus son
temps d'ex\'ecution. 413 378 temps d'ex\'ecution.
414 379
Une autre d\'efinition importante qui est propos\'ee par Leung et al. \cite{def2-ordo} est : 415 380 Une autre d\'efinition importante qui est propos\'ee par Leung et al. \cite{def2-ordo} est :
\begin{definition} 416 381 \begin{definition}
\label{def-ordo2} 417 382 \label{def-ordo2}
L'ordonnancement traite de l'allocation de ressources rares à des activit\'es avec 418 383 L'ordonnancement traite de l'allocation de ressources rares à des activit\'es avec
l'objectif d'optimiser un ou plusieurs critères de performance. 419 384 l'objectif d'optimiser un ou plusieurs critères de performance.
\end{definition} 420 385 \end{definition}
421 386
Cette d\'efinition est plus g\'en\'erique mais elle nous int\'eresse d'avantage que la d\'efinition \ref{def-ordo1}. 422 387 Cette d\'efinition est plus g\'en\'erique mais elle nous int\'eresse d'avantage que la d\'efinition \ref{def-ordo1}.
En effet, la partie qui nous int\'eresse dans cette première d\'efinition est le respect de la pr\'ec\'edance des t\^aches. 423 388 En effet, la partie qui nous int\'eresse dans cette première d\'efinition est le respect de la pr\'ec\'edance des t\^aches.
Dans les faits les dates de d\'ebut ne nous int\'eressent pas r\'eellement. 424 389 Dans les faits les dates de d\'ebut ne nous int\'eressent pas r\'eellement.
425 390
En revanche la d\'efinition \ref{def-ordo2} sera au c\oe{}ur du projet. Pour se convaincre de cela, 426 391 En revanche la d\'efinition \ref{def-ordo2} sera au c\oe{}ur du projet. Pour se convaincre de cela,
il nous faut d'abord d\'efinir quel est le type de problème d'ordonnancement qu'on traite et quelles 427 392 il nous faut d'abord d\'efinir quel est le type de problème d'ordonnancement qu'on traite et quelles
sont les m\'ethodes qu'on peut appliquer. 428 393 sont les m\'ethodes qu'on peut appliquer.
429 394
Les problèmes d'ordonnancement peuvent être class\'es en diff\'erentes cat\'egories : 430 395 Les problèmes d'ordonnancement peuvent être class\'es en diff\'erentes cat\'egories :
\begin{itemize} 431 396 \begin{itemize}
\item T\^aches ind\'ependantes : dans cette cat\'egorie de problèmes, les t\^aches sont complètement ind\'ependantes 432 397 \item T\^aches ind\'ependantes : dans cette cat\'egorie de problèmes, les t\^aches sont complètement ind\'ependantes
les unes des autres. Dans notre cas, ce n'est pas le plus adapt\'e. 433 398 les unes des autres. Dans notre cas, ce n'est pas le plus adapt\'e.
\item Graphe de t\^aches : la d\'efinition \ref{def-ordo1} d\'ecrit cette cat\'egorie. La plupart du temps, 434 399 \item Graphe de t\^aches : la d\'efinition \ref{def-ordo1} d\'ecrit cette cat\'egorie. La plupart du temps,
les t\^aches sont repr\'esent\'ees par une DAG. Cette cat\'egorie est très proche de notre cas puisque nous devons \'egalement ex\'ecuter 435 400 les t\^aches sont repr\'esent\'ees par une DAG. Cette cat\'egorie est très proche de notre cas puisque nous devons \'egalement ex\'ecuter
des t\^aches qui ont un certain nombre de d\'ependances. On pourra même dire que dans certain cas, 436 401 des t\^aches qui ont un certain nombre de d\'ependances. On pourra même dire que dans certain cas,
on a des anti-arbres, c'est à dire que nous avons une multitude de t\^aches d'entr\'ees qui convergent vers une 437 402 on a des anti-arbres, c'est à dire que nous avons une multitude de t\^aches d'entr\'ees qui convergent vers une
t\^ache de fin. 438 403 t\^ache de fin.
\item Workflow : cette cat\'egorie est une sous cat\'egorie des graphes de t\^aches dans le sens où 439 404 \item Workflow : cette cat\'egorie est une sous cat\'egorie des graphes de t\^aches dans le sens où
il s'agit d'un graphe de t\^aches r\'ep\'et\'e de nombreuses de fois. C'est exactement ce type de problème 440 405 il s'agit d'un graphe de t\^aches r\'ep\'et\'e de nombreuses de fois. C'est exactement ce type de problème
que nous traitons ici. 441 406 que nous traitons ici.
\end{itemize} 442 407 \end{itemize}
443 408
Bien entendu, cette liste n'est pas exhaustive et il existe de nombreuses autres classifications et sous-classifications 444 409 Bien entendu, cette liste n'est pas exhaustive et il existe de nombreuses autres classifications et sous-classifications
de ces problèmes. Nous n'avons parl\'e ici que des cat\'egories les plus communes. 445 410 de ces problèmes. Nous n'avons parl\'e ici que des cat\'egories les plus communes.
446 411
Un autre point à d\'efinir, est le critère d'optimisation. Il y a là encore un grand nombre de 447 412 Un autre point à d\'efinir, est le critère d'optimisation. Il y a là encore un grand nombre de
critères possibles. Nous allons donc parler des principaux : 448 413 critères possibles. Nous allons donc parler des principaux :
\begin{itemize} 449 414 \begin{itemize}
\item Temps de compl\'etion total (ou Makespan en anglais) : ce critère est l'un des critères d'optimisation 450 415 \item Temps de compl\'etion total (ou Makespan en anglais) : ce critère est l'un des critères d'optimisation
les plus courant. Il s'agit donc de minimiser la date de fin de la dernière t\^ache de l'ensemble des 451 416 les plus courant. Il s'agit donc de minimiser la date de fin de la dernière t\^ache de l'ensemble des
t\^aches à ex\'ecuter. L'enjeu de cette optimisation est donc de trouver l'ordonnancement optimal permettant 452 417 t\^aches à ex\'ecuter. L'enjeu de cette optimisation est donc de trouver l'ordonnancement optimal permettant
la fin d'ex\'ecution au plus tôt. 453 418 la fin d'ex\'ecution au plus tôt.
\item Somme des temps d'ex\'ecution (Flowtime en anglais) : il s'agit de faire la somme des temps d'ex\'ecution de toutes les t\^aches 454 419 \item Somme des temps d'ex\'ecution (Flowtime en anglais) : il s'agit de faire la somme des temps d'ex\'ecution de toutes les t\^aches
et d'optimiser ce r\'esultat. 455 420 et d'optimiser ce r\'esultat.
\item Le d\'ebit : ce critère quant à lui, vise à augmenter au maximum le d\'ebit de traitement des donn\'ees. 456 421 \item Le d\'ebit : ce critère quant à lui, vise à augmenter au maximum le d\'ebit de traitement des donn\'ees.
\end{itemize} 457 422 \end{itemize}
458 423
En plus de cela, on peut avoir besoin de plusieurs critères d'optimisation. Il s'agit dans ce cas d'une optimisation 459 424 En plus de cela, on peut avoir besoin de plusieurs critères d'optimisation. Il s'agit dans ce cas d'une optimisation
multi-critères. Bien entendu, cela complexifie d'autant plus le problème car la solution la plus optimale pour un 460 425 multi-critères. Bien entendu, cela complexifie d'autant plus le problème car la solution la plus optimale pour un
des critères peut être très mauvaise pour un autre critère. De ce cas, il s'agira de trouver une solution qui permet 461 426 des critères peut être très mauvaise pour un autre critère. De ce cas, il s'agira de trouver une solution qui permet
de faire le meilleur compromis entre tous les critères. 462 427 de faire le meilleur compromis entre tous les critères.
463 428
464
\subsection{Formalisation du problème} 465 429 \subsection{Formalisation du problème}
\label{formalisation} 466 430 \label{formalisation}
Maintenant que nous avons donn\'e le vocabulaire li\'e à l'ordonnancement, nous allons pouvoir essayer caract\'eriser 467 431 Maintenant que nous avons donn\'e le vocabulaire li\'e à l'ordonnancement, nous allons pouvoir essayer caract\'eriser
formellement notre problème. En effet, nous allons reprendre les contraintes \'enonc\'ees dans la sections \ref{def-contraintes} 468 432 formellement notre problème. En effet, nous allons reprendre les contraintes \'enonc\'ees dans la sections \ref{def-contraintes}
et nous essayerons de les formaliser le plus finement possible. 469 433 et nous essayerons de les formaliser le plus finement possible.
470 434
Comme nous l'avons dit, une t\^ache est un bloc de traitement. Chaque t\^ache $i$ dispose d'un ensemble de paramètres 471 435 Comme nous l'avons dit, une t\^ache est un bloc de traitement. Chaque t\^ache $i$ dispose d'un ensemble de paramètres
que nous nommerons $\mathcal{P}_{i}$. Cet ensemble $\mathcal{P}_i$ est propre à chaque t\^ache et il variera d'une 472 436 que nous nommerons $\mathcal{P}_{i}$. Cet ensemble $\mathcal{P}_i$ est propre à chaque t\^ache et il variera d'une
t\^ache à l'autre. Nous reviendrons plus tard sur les paramètres qui peuvent composer cet ensemble. 473 437 t\^ache à l'autre. Nous reviendrons plus tard sur les paramètres qui peuvent composer cet ensemble.
474 438
Outre cet ensemble $\mathcal{P}_i$, chaque t\^ache dispose de paramètres communs : 475 439 Outre cet ensemble $\mathcal{P}_i$, chaque t\^ache dispose de paramètres communs :
\begin{itemize} 476 440 \begin{itemize}
\item Dur\'ee de la t\^ache : Comme nous l'avons dit auparavant, dans le cadre d'un FPGA le temps est compt\'e en nombre de coup d'horloge. 477 441 \item Dur\'ee de la t\^ache : Comme nous l'avons dit auparavant, dans le cadre d'un FPGA le temps est compt\'e en nombre de coup d'horloge.
En outre, les blocs sont toujours sollicit\'es, certains même sont capables de lire et de renvoyer une r\'esultat à chaque coups d'horloge. 478 442 En outre, les blocs sont toujours sollicit\'es, certains même sont capables de lire et de renvoyer une r\'esultat à chaque coups d'horloge.
Donc la dur\'ee d'une t\^ache ne peut être le laps de temps entre l'entr\'ee d'une donn\'ee et la sortie d'une autre. Nous d\'efinirons la 479 443 Donc la dur\'ee d'une t\^ache ne peut être le laps de temps entre l'entr\'ee d'une donn\'ee et la sortie d'une autre. Nous d\'efinirons la
dur\'ee comme le temps de traitement d'une donn\'ee, c'est à dire la diff\'erence de temps entre la date de sortie d'une donn\'ee 480 444 dur\'ee comme le temps de traitement d'une donn\'ee, c'est à dire la diff\'erence de temps entre la date de sortie d'une donn\'ee
et de sa date d'entr\'ee. Nous nommerons cette dur\'ee $\delta_i$. % Je devrais la nomm\'ee w comme dans la def2 481 445 et de sa date d'entr\'ee. Nous nommerons cette dur\'ee $\delta_i$. % Je devrais la nomm\'ee w comme dans la def2
\item La pr\'ecision : La pr\'ecision d'une donn\'ee est le nombre de bits significatifs qu'elle compte. En effet, au fil des traitements 482 446 \item La pr\'ecision : La pr\'ecision d'une donn\'ee est le nombre de bits significatifs qu'elle compte. En effet, au fil des traitements
les pr\'ecisions peuvent varier. On nomme donc la pr\'ecision d'entr\'ee d'une t\^ache $i$ comme $\pi_i^-$ et la pr\'ecision en sortie $\pi_i^+$. 483 447 les pr\'ecisions peuvent varier. On nomme donc la pr\'ecision d'entr\'ee d'une t\^ache $i$ comme $\pi_i^-$ et la pr\'ecision en sortie $\pi_i^+$.
\item La fr\'equence du flux en entr\'ee (ou sortie) : Cette fr\'equence repr\'esente la fr\'equence des donn\'ees qui arrivent (resp. sortent). 484 448 \item La fr\'equence du flux en entr\'ee (ou sortie) : Cette fr\'equence repr\'esente la fr\'equence des donn\'ees qui arrivent (resp. sortent).
Selon les t\^aches, les fr\'equences varieront. En effet, certains blocs ralentissent le flux c'est pourquoi on distingue la fr\'equence du 485 449 Selon les t\^aches, les fr\'equences varieront. En effet, certains blocs ralentissent le flux c'est pourquoi on distingue la fr\'equence du
flux en entr\'ee et la fr\'equence en sortie. Nous nommerons donc la fr\'equence du flux en entr\'ee $f_i^-$ et la fr\'equence en sortie $f_i^+$. 486 450 flux en entr\'ee et la fr\'equence en sortie. Nous nommerons donc la fr\'equence du flux en entr\'ee $f_i^-$ et la fr\'equence en sortie $f_i^+$.
\item La quantit\'e de donn\'ees en entr\'ee (ou en sortie) : Il s'agit de la quantit\'e de donn\'ees que le bloc s'attend à traiter (resp. 487 451 \item La quantit\'e de donn\'ees en entr\'ee (ou en sortie) : Il s'agit de la quantit\'e de donn\'ees que le bloc s'attend à traiter (resp.
est capable de produire). Les t\^aches peuvent avoir à traiter des gros volumes de donn\'ees et n'en ressortir qu'une partie. Cette 488 452 est capable de produire). Les t\^aches peuvent avoir à traiter des gros volumes de donn\'ees et n'en ressortir qu'une partie. Cette
fois encore, il nous faut donc diff\'erencier l'entr\'ee et la sortie. Nous nommerons donc la quantit\'e de donn\'ees entrantes $q_i^-$ 489 453 fois encore, il nous faut donc diff\'erencier l'entr\'ee et la sortie. Nous nommerons donc la quantit\'e de donn\'ees entrantes $q_i^-$
et la quantit\'e de donn\'ees sortantes $q_i^+$ pour une t\^ache $i$. 490 454 et la quantit\'e de donn\'ees sortantes $q_i^+$ pour une t\^ache $i$.
\item Le d\'ebit d'entr\'ee (ou de sortie) : Ce paramètre correspond au d\'ebit de donn\'ees que la t\^ache est capable de traiter ou qu'elle 491 455 \item Le d\'ebit d'entr\'ee (ou de sortie) : Ce paramètre correspond au d\'ebit de donn\'ees que la t\^ache est capable de traiter ou qu'elle
fournit en sortie. Il s'agit simplement de l'expression des deux pr\'ec\'edents paramètres. Nous d\'efinirons donc la d\'ebit entrant de la 492 456 fournit en sortie. Il s'agit simplement de l'expression des deux pr\'ec\'edents paramètres. Nous d\'efinirons donc la d\'ebit entrant de la
t\^ache $i$ comme $d_i^-\ =\ q_i^-\ *\ f_i^-$ et le d\'ebit sortant comme $d_i^+\ =\ q_i^+\ *\ f_i^+$. 493 457 t\^ache $i$ comme $d_i^-\ =\ q_i^-\ *\ f_i^-$ et le d\'ebit sortant comme $d_i^+\ =\ q_i^+\ *\ f_i^+$.
\item La taille de la t\^ache : La taille dans les FPGA \'etant limit\'ee, ce paramètre exprime donc la place qu'occupe la t\^ache au sein du bloc. 494 458 \item La taille de la t\^ache : La taille dans les FPGA \'etant limit\'ee, ce paramètre exprime donc la place qu'occupe la t\^ache au sein du bloc.
Nous nommerons $\mathcal{A}_i$ cette taille. 495 459 Nous nommerons $\mathcal{A}_i$ cette taille.
\item Les pr\'ed\'ecesseurs et successeurs d'une t\^ache : cela nous permet de connaître les t\^aches requises pour pouvoir traiter 496 460 \item Les pr\'ed\'ecesseurs et successeurs d'une t\^ache : cela nous permet de connaître les t\^aches requises pour pouvoir traiter
la t\^ache $i$ ainsi que les t\^aches qui en d\'ependent. Ces ensemble sont not\'es $\Gamma _i ^-$ et $ \Gamma _i ^+$ \\ 497 461 la t\^ache $i$ ainsi que les t\^aches qui en d\'ependent. Ces ensemble sont not\'es $\Gamma _i ^-$ et $ \Gamma _i ^+$ \\
%TODO Est-ce vraiment un paramètre ? 498 462 %TODO Est-ce vraiment un paramètre ?
\end{itemize} 499 463 \end{itemize}
500 464
Ces diff\'erents paramètres communs sont fortement li\'es aux \'el\'ements de $\mathcal{P}_i$. Voici quelques exemples de relations 501 465 Ces diff\'erents paramètres communs sont fortement li\'es aux \'el\'ements de $\mathcal{P}_i$. Voici quelques exemples de relations
que nous avons identifi\'ees : 502 466 que nous avons identifi\'ees :
\begin{itemize} 503 467 \begin{itemize}
\item $ \delta _i ^+ \ = \ \mathcal{F}_{\delta}(\pi_i^-,\ \pi_i^+,\ d_i^-,\ d_i^+,\ \mathcal{P}_i) $ donne le temps d'ex\'ecution 504 468 \item $ \delta _i ^+ \ = \ \mathcal{F}_{\delta}(\pi_i^-,\ \pi_i^+,\ d_i^-,\ d_i^+,\ \mathcal{P}_i) $ donne le temps d'ex\'ecution
de la t\^ache en fonction de la pr\'ecision voulue, du d\'ebit et des paramètres internes. 505 469 de la t\^ache en fonction de la pr\'ecision voulue, du d\'ebit et des paramètres internes.
\item $ \pi _i ^+ \ = \ \mathcal{F}_{p}(\pi_i^-,\ \mathcal{P}_i) $, la fonction $F_p$ donne la pr\'ecision en sortie selon la pr\'ecision de d\'epart 506 470 \item $ \pi _i ^+ \ = \ \mathcal{F}_{p}(\pi_i^-,\ \mathcal{P}_i) $, la fonction $F_p$ donne la pr\'ecision en sortie selon la pr\'ecision de d\'epart
et les paramètres internes de la t\^ache. 507 471 et les paramètres internes de la t\^ache.
\item $d_i^+\ =\ \mathcal{F}_d(d_i^-, \mathcal{P}_i)$, la fonction $F_d$ donne le d\'ebit sortant de la t\^ache en fonction du d\'ebit 508 472 \item $d_i^+\ =\ \mathcal{F}_d(d_i^-, \mathcal{P}_i)$, la fonction $F_d$ donne le d\'ebit sortant de la t\^ache en fonction du d\'ebit
sortant et des variables internes de la t\^ache. 509 473 sortant et des variables internes de la t\^ache.
\item $A_i^+\ =\ \mathcal{F}_A(\pi_i^-,\ \pi_i^+,\ d_i^-,\ d_i^+, \mathcal{P}_i)$ 510 474 \item $A_i^+\ =\ \mathcal{F}_A(\pi_i^-,\ \pi_i^+,\ d_i^-,\ d_i^+, \mathcal{P}_i)$
\end{itemize} 511 475 \end{itemize}
Pour le moment, nous ne sommes pas capables de donner une d\'efinition g\'en\'erale de ces fonctions. Mais en revanche, 512 476 Pour le moment, nous ne sommes pas capables de donner une d\'efinition g\'en\'erale de ces fonctions. Mais en revanche,
sur quelques exemples simples (cf. \ref{def-contraintes}), nous parvenons à donner une \'evaluation de ces fonctions. 513 477 sur quelques exemples simples (cf. \ref{def-contraintes}), nous parvenons à donner une \'evaluation de ces fonctions.
514 478
Maintenant que nous avons donn\'e toutes les notations utiles, nous allons \'enoncer des contraintes relatives à notre problème. Soit 515 479 Maintenant que nous avons donn\'e toutes les notations utiles, nous allons \'enoncer des contraintes relatives à notre problème. Soit
un DGA $G(V,\ E)$, on a pour toutes arêtes $(i, j)\ \in\ E$ les in\'equations suivantes : 516 480 un DGA $G(V,\ E)$, on a pour toutes arêtes $(i, j)\ \in\ E$ les in\'equations suivantes :
517 481
\paragraph{Contrainte de pr\'ecision :} 518 482 \paragraph{Contrainte de pr\'ecision :}
Cette in\'equation traduit la contrainte de pr\'ecision d'une t\^ache à l'autre : 519 483 Cette in\'equation traduit la contrainte de pr\'ecision d'une t\^ache à l'autre :
\begin{align*} 520 484 \begin{align*}
\pi _i ^+ \geq \pi _j ^- 521 485 \pi _i ^+ \geq \pi _j ^-
\end{align*} 522 486 \end{align*}
523 487
\paragraph{Contrainte de d\'ebit :} 524 488 \paragraph{Contrainte de d\'ebit :}
Cette in\'equation traduit la contrainte de d\'ebit d'une t\^ache à l'autre : 525 489 Cette in\'equation traduit la contrainte de d\'ebit d'une t\^ache à l'autre :
\begin{align*} 526 490 \begin{align*}
d _i ^+ = q _j ^- * (f_i + (1 / s_j) ) & \text{ où } s_j \text{ est une valeur positive de temporisation de la t\^ache} 527 491 d _i ^+ = q _j ^- * (f_i + (1 / s_j) ) & \text{ où } s_j \text{ est une valeur positive de temporisation de la t\^ache}
\end{align*} 528 492 \end{align*}
529 493
\paragraph{Contrainte de synchronisation :} 530 494 \paragraph{Contrainte de synchronisation :}
Il s'agit de la contrainte qui impose que si à un moment du traitement, le DAG se s\'epare en plusieurs branches parallèles 531 495 Il s'agit de la contrainte qui impose que si à un moment du traitement, le DAG se s\'epare en plusieurs branches parallèles
et qu'elles se rejoignent plus tard, la somme des latences sur chacune des branches soit la même. 532 496 et qu'elles se rejoignent plus tard, la somme des latences sur chacune des branches soit la même.
Plus formellement, s'il existe plusieurs chemins disjoints, partant de la t\^ache $s$ et allant à la t\^ache de $f$ alors : 533 497 Plus formellement, s'il existe plusieurs chemins disjoints, partant de la t\^ache $s$ et allant à la t\^ache de $f$ alors :
\begin{align*} 534 498 \begin{align*}
\forall \text{ chemin } \mathcal{C}1(s, .., f), 535 499 \forall \text{ chemin } \mathcal{C}1(s, .., f),
\forall \text{ chemin } \mathcal{C}2(s, .., f) 536 500 \forall \text{ chemin } \mathcal{C}2(s, .., f)
\text{ tel que } \mathcal{C}1 \neq \mathcal{C}2 537 501 \text{ tel que } \mathcal{C}1 \neq \mathcal{C}2
\Rightarrow 538 502 \Rightarrow
\sum _{i} ^{i \in \mathcal{C}1} \delta_i = \sum _{i} ^{i \in \mathcal{C}2} \delta_i 539 503 \sum _{i} ^{i \in \mathcal{C}1} \delta_i = \sum _{i} ^{i \in \mathcal{C}2} \delta_i
\end{align*} 540 504 \end{align*}
541 505
\paragraph{Contrainte de place :} 542 506 \paragraph{Contrainte de place :}
Cette in\'equation traduit la contrainte de place dans le FPGA. La taille max de la puce FPGA est nomm\'e $\mathcal{A}_{FPGA}$ : 543 507 Cette in\'equation traduit la contrainte de place dans le FPGA. La taille max de la puce FPGA est nomm\'e $\mathcal{A}_{FPGA}$ :
\begin{align*} 544 508 \begin{align*}
\sum ^{\text{t\^ache } i} \mathcal{A}_i \leq \mathcal{A}_{FPGA} 545 509 \sum ^{\text{t\^ache } i} \mathcal{A}_i \leq \mathcal{A}_{FPGA}
\end{align*} 546 510 \end{align*}
547 511
\subsection{Exemples de mod\'elisation} 548 512 \subsection{Exemples de mod\'elisation}
\label{exemples-modeles} 549 513 \label{exemples-modeles}
Nous allons maintenant prendre quelques blocs de traitement simples afin d'illustrer au mieux notre modèle. 550 514 Nous allons maintenant prendre quelques blocs de traitement simples afin d'illustrer au mieux notre modèle.
Pour tous nos exemple, nous prendrons un d\'ebit en entr\'ee de 200 Mo/s avec une pr\'ecision de 16 bit. 551 515 Pour tous nos exemple, nous prendrons un d\'ebit en entr\'ee de 200 Mo/s avec une pr\'ecision de 16 bit.
552 516
Prenons tout d'abord l'exemple d'un bloc de d\'ecimation. Le but de ce bloc est de ralentir le flux en ne gardant 553 517 Prenons tout d'abord l'exemple d'un bloc de d\'ecimation. Le but de ce bloc est de ralentir le flux en ne gardant
que certaines donn\'ees à intervalle r\'egulier. Cet intervalle est appel\'e le facteur de d\'ecimation, on le notera $N$. 554 518 que certaines donn\'ees à intervalle r\'egulier. Cet intervalle est appel\'e le facteur de d\'ecimation, on le notera $N$.
555 519
Donc d'après notre mod\'elisation : 556 520 Donc d'après notre mod\'elisation :
\begin{itemize} 557 521 \begin{itemize}
\item $N \in \mathcal{P}_i$ 558 522 \item $N \in \mathcal{P}_i$
%TODO N ou 1 ? 559 523 %TODO N ou 1 ?
\item $\delta _i = N\ c.h.$ (coup d'horloge) 560 524 \item $\delta _i = N\ c.h.$ (coup d'horloge)
\item $\pi _i ^+ = \pi _i ^- = 16 bits$ 561 525 \item $\pi _i ^+ = \pi _i ^- = 16 bits$
\item $f _i ^+ = f _i ^-$ 562 526 \item $f _i ^+ = f _i ^-$
\item $q _i ^+ = q _i ^- / N$ 563 527 \item $q _i ^+ = q _i ^- / N$
\item $d _i ^+ = q _i ^- / N / f _i ^-$ 564 528 \item $d _i ^+ = q _i ^- / N / f _i ^-$
\item $\Gamma _i ^+ = \Gamma _i ^- = 1$\\ 565 529 \item $\Gamma _i ^+ = \Gamma _i ^- = 1$\\
%TODO Je ne sais pas trouver la taille... 566 530 %TODO Je ne sais pas trouver la taille...
\end{itemize} 567 531 \end{itemize}
568 532
Un autre exemple int\'eressant que l'on peut donner, c'est le cas des spliters. Il s'agit la aussi d'un bloc très 569 533 Un autre exemple int\'eressant que l'on peut donner, c'est le cas des spliters. Il s'agit la aussi d'un bloc très
simple qui permet de dupliquer un flux. On peut donc donner un nombre de sorties à cr\'eer, on note ce paramètre 570 534 simple qui permet de dupliquer un flux. On peut donc donner un nombre de sorties à cr\'eer, on note ce paramètre
%TODO pas très inspir\'e... 571 535 %TODO pas très inspir\'e...
$X$. Voici ce que donne notre mod\'elisation : 572 536 $X$. Voici ce que donne notre mod\'elisation :
\begin{itemize} 573 537 \begin{itemize}
\item $X \in \mathcal{P}_i$ 574 538 \item $X \in \mathcal{P}_i$
\item $\delta _i = 1\ c.h.$ 575 539 \item $\delta _i = 1\ c.h.$